§ 22 Abs. 3 SGB II:
3) Wohnungsbeschaffungskosten sowie Mietkautionen und Umzugskosten konnen bei vorheriger Zusicherung durch den kommunalen Trager ubernommen werden. Die Zusicherung soll erteilt werden, wenn der Umzug durch den kommunalen Trager veranlasst oder aus anderen Grunden notwendig ist und wenn ohne die Zusicherung eine Unterkunft in einem angemessenen Zeitraum nicht gefunden werden kann.
Означает , что они могут (но не должны) вам оплатить, если они вас заставили новую квартиру искать и с самого начала вам добро на Kaution дали.
Забудьте слово "должны", АРГЕ вам должно только денъг на жизнь дать, да и то под определённые условия. Всё остальное - это только "могут "