Ну это же не принципиально в какой форме будет выдано свидетелчство о рождении - заверено в консульстве или выдадут отдельную бумажку.
А насчет права - берете официальную копию документа (при регистрации вам выдают несколько копий. Если не хватает можно сделать за небольшие деньги еще. И с заявлением, этой копией, заверенной апостилем, переводом на русский (плюс все остальные необходимые документы) идете в консульство и там (по вашему желанию) ставят штамп о наличии у ребенка российского гражданства.